Repondiendo al titulo NO, no puedes, necesitas ambas partes. Lo que si puedes hacer teniendo la BD en tu poder, es ver las tablas y a que extension estan relacionadas. Instalar joomla nuevo, con la misma version que tenias, sin datos de ejemplo e ir instalando las extensiones nuevas e importante respetando versiones de las mismas ya que podria indiucir a errores.
Una vez instalado todo lo que recuerdas y lo averiguado por medio de tu base de datos, debes hacer uso de los datos de la base de datos e ir insertando los datos desde tu phpmyadmin, accediendo a la base de datos instalada, vaciando las tablas que vas a actualizar para que no se presenten errores durante la inserción de datos en caso de ser repetidos.
O bien, añadir un DROP TABLE IF EXISTS a cada tabla que quieras actualizar e importar esa base de datos directamente.