La version de joomla debe ser la misma en los dos servidores.
No podras utilizar akeeba porque en byet free tienes limitaciones con el tamaño de los archivos que bajas o subes.
Asi deberia funcionar:
1- respalda la BD por phpmyadmin en el viejo server y guardala en tu ordenador comprimida en zip.
2- Descarga a tu ordenador los archivos y carpetas que tienes en el viejo server. (de joomla por supuesto)
3- realiza una nueva instalación sin datos de ejemplo en tu server nuevo (aqui deberas eliminar la carpeta installation tal como indica joomla)
4- sube todos los archivos y carpetas que bajaste por FTP o file manager al server nuevo menos el configuration.php y sobreescribe todo lo que exista
5- elimina las tablas generadas en la BD por la nueva instalación
6- importa la base de datos que respaldaste en el punto 1
7- Revisa la ruta de las imagenes, las metatags y otros detalles (es decir que todo ande bien)
Saludos
Max