Haz una actualizacion en paralelo. Primero, instalate el componente Akeeba backup , que te permitira realizar una copia de seguridad de todos tus archivos y base de datos. Leete el contenido del enlace proporcionado.
Crea una carpeta nueva en la raiz de tu joomla y sube ahí la copia. Desde ahí realiza la migración de todo lo que consideres oportuno. Cuando hayas acabado, crea otra carpeta llamada copia_vieja o old_copia y sube ahí el joomla antiguo para darle el espacio al nuevo, reemplazalo con el joomla nuevo que tienes en la carpeta que has creado primera. Es una forma no traumatica de actulizar.
Para pasar los archivos de una carpeta a otra, no es necesario descargate los mismos a tu ordenador y luego subirlos al sitio que le corresponda. Solo tienes que seleccionarlos todos y arrastrar donde corresponda. En cuestion de segundos, los archivos seran trasladados. Todo ello con tu cliente FTP.
No temas por los enlaces ya que joomla no conserva la raiz de los mismos, de modo que cuando traslades los archivos, solo con cambiar las rutas absolutas de tu archivo configuration.php sera suficiente, amen de alguna extension que si tengas que cambiar también rutas absolutas